@Pablo:
It's true that Mexicans almost never say "ponerse enfermo", and never "caer enfermo". Although we don't use "enfermar" either; we prefer the pronominal "enfermarse".
When we use this verb, is normally to express a cause for falling ill:
·Me enfermé por comer lechuga sin lavar.
·Si no te pones el suéter, te vas a enfermar.
·Los niños se enfermaron de varicela.
·Hay una epidemia y todos nos estamos enfermando de influenza.
·¿De qué te enfermaste?
To express the idea of catching an illness, we use "
darle (una enfermedad a alguien)":
·Me dio un catarro espantoso.
·A Lucía le dio sarampión.
·Te dio salmonelosis por comer en la calle.
·¿Cómo se llama la enfermedad que da por una picadura de chinche?
Some colloquial variations are "agarrar", "pescar"...
·Agarré/pesqué un resfriado de lo peor.
To express that someone is already ill we normally use "estar enfermo":
·Juan no vino a trabajar porque está enfermo.
·María está enferma en el hospital.
·Estoy enfermo; me voy a quedar en cama.
Also, "tener una enfermedad":
·Tengo rubéola, no te me acerques.
·¿Tienes gripa?
·Sebastián tiene una infección que no le han podido curar.
For Alec's definition of "ponerse enfermo", we mostly use "sentirse mal":
·Pedro se sintió mal y salió corriendo al baño.
·Me siento mal, creo que me voy a enfermar.
·¿Te sientes mal? Estás muy pálido.
·Nos empezamos a sentir mal después de comer el pastel.