En España: manillar.
En México creo que usan "manubrio".
Por ejemplo (sacados del CREA):
Palinuro en una bicicleta y sin tocar el [***]manubrio[***] con las manos.
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AÑO: 1977
AUTOR: Paso, Fernando del
TÍTULO: Palinuro de México
PAÍS: MÉXICO
TEMA: 07.Novela
PUBLICACIÓN: Alfaguara (Madrid), 1982
Un chico, en bicicleta, se suelta del [***]manubrio[***] y esquiva a los transeúntes con ligeros balanceos de cuerpo que le imprimen ciertos brevísimos giros a su artefacto rodante.
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AÑO: 1990
AUTOR: Montaño Hurtado, Alfredo
TÍTULO: Las cenizas de los sueños
PAÍS: MÉXICO
TEMA: 07.Relatos
PUBLICACIÓN: Edamex (México D.F.), 1990
Puedes poner "manubrio" aquí:
http://corpus.rae.es/creanet.html
Y seleccionar "México"...
También con "manillar", pero parece que se usa menos.
Saludos cordiales.