I think it is another case of "reduplicación obligatoria" (mandatory redundancy): when you use a
pronombre tónico you have to use also a
pronombre átono.
Di el mensaje
a mis vecinos ---->
Di el mensaje a ellos
Le di el mensaje a ellos
Entregó las pruebas
al juez ---->
Entregó las pruebas a él
Le entregó las pruebas a él
Recuerda que me tienes
a mí; recuerda que cuentas conmigo.
You may find also examples without the reduplicated pronoun, but there's some focus in the beginning of the sentence (reduplication is accepted too): "No a muchos (le) han podido deber tanto dinero como a él"
By the other hand "Recuerda que me tienes" is ambiguous. What is it? "me tienes cansado"? you own me? you have chained me to a pole? "Tener + participio" is a verbal periphrasis so the sentence looks kind of incomplete. Also the "got me" part is not clear, is it my body? my soul? my will? That "me tienes
a mí" implies my affectioned support.