"A mediados de" is the common way to tell an imprecise date.
- Nos vemos a mediados de la semana que entra.
- Me pagan a mediados de mes.
- Aquí empieza a llover a mediados de año.
- Este libro se publicó a mediados del siglo XIX.
Les commonly, you may find "a medio(a) + time unit"...
- Te pago el dinero que me prestaste a media semana.
- Salgo de viaje a medio mes.
- ¿Vas a tomar vacaciones a medio año?
...or "a (la) mitad de".
- Empecé a ir al gimnasio a mitad de la semana.
- Hay que esperar a la mitad del mes para hacer el trámite.
- A la mitad del año por aquí salían muchas flores amarillas.
"La mitad" would be used to talk about the whole half of the period of time.
- La mitad del día ha estado nublado.
- He esperado la mitad del mes a que me paguen.
- Aquí llueve la mitad del año.
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